اصل تقارن

فرض می‌کنیم دو دایره به مراکز یکدیگر را به زاویه قائمه قطع کرده اند. فرض کنید شعاعی که از می گذرد دایره را در نقاط قطع کند.
را یک از دو نقطه تقاطع دوایر ( استدلال ما به این امر که کدام یک از نقاط تقاطع باشد وابسته نیست – همچنین اگر جاهای با هم عوض شوند،‌ فقط اندک اصلاحاتی مورد نیاز واقع می‌‌شود ) و را قطری از دایره می‌گیریم. پس:

(توجه کنید که در این فصل دیگر روی همجهت بودن دو مثلث متشابه پافشاری نمی‌کنیم. ) از اینجا نتیجه می‌شود که :

که در آن شعاع دایرهاست. بویژه نقطه فقط به دایرهبستگی دارد،‌ بدین معنی که دایره بر دایره عمود است و از نقطه می گذرد. اما بینهایت از این دوایر وجود دارند.
دو نقطه را قرینه یا منعکس یکدیگر نسبت به دایرهگویند،‌ هر گاه هر دو نقطه روی شعاعی باشند که از نقطه ( مرکز دایره ) می‌گذرد و ، که شعاع دایره است.
مرکز این دایره و نقطه بینهایت قرینه یکدیگرند و قرینه یک نقطه واقع بر دایره بر خودش منطبق است. اگر دایره به خط بدل شود، دو نقطه فقط و فقط وقتی قرینه یکدیگرند که نسبت به این خط قرینه یکدیگر باشند.
بحث فوق، نیمه اول برهان لم زیر است:

اگر دایره . بر یک دایره عمود باشد و از نقطه ای مانند بگذرد، آنگاه باید از نقطه ‌،‌ قرینه نقطهنسبت به دایره ی ، نیز بگذرد. به عکس، اگر دایره ای مانند از دو نقطه ، که نسبت به دایره قرنیه یکدیگرند بگذرند، آنگاه دو دایره بر هم عمودند.
برهان.
برهان عکس قضیه تنها با معکوس کردن استدلال فوق، حاصل می‌شود. با نمادهای فوق بنا به فرض داریم.
یعنی
در نتیجه:

بنابراین:

تبدیل موبیوس، تقارن را حفظ می‌کند.
برهان.
فرض می کنیم دو نقطه نسبت به دایره متقارن باشند و تبدیل موبیوس نقاط را به ترتیب به نقاط بنگارد و دایره را به دایره می‌خواهیم نشان دهیم که نقاط نسبت به دایره قرینه اند.
فرض کنید دایره دلخواهی باشد که از نقطه گذشته و بر دایره عمود است. پس پیشنگاره دایره ای است عمود بر دایره ( زیرا تبدیلی موبیوس،‌ و لذا همدیس است ) و از نقطه می گذرد. با توجه به لم پیش، دایره نیز باید از نقطه بگذرد. از اینجا نتیجه می شود که دایره باید از نقطه بگذرد،‌ یعنی قرینه نسبت به دایره باشد.

تبدیل موبیوسی که دایره یکه را بر دایره یکه می نگارد باید به صورت زیر باشد:

اثبات.
فرض کنید نقطه ای باشد که برنگاشته شده است.
پس نگاره قرینه اش ( نسبت به دایره یکه ) باید باشد.

چون تساوی وقتی برقرار است که داشته باشیم، با قرار دادن ، خواهیم داشت:

اگر، داریم و . به عکس، اگر

آنگاه به ازای،

بنابراین تبدیل موبیوسی که چنین به دست آید در آن شرط صدق می کند. داخل دایره یکه صفحه به ترتیب بر داخل یا خارج دایره یکه صفحه نگاشته می شود هر گاه یا .

هر تبدیل موبیوس که محور حقیقی صفحه را بر دایره در صفحه بنگارد،‌ باید به شکل

اثبات.
نقاط صفحه متناظربابایدنسبت به محورحقیقی قرینه یکدیگر،‌یعنی مزدوج مختلط یکدیگر باشند. بنابراین:

هنگامی کهحقیقی است،‌ داریم و باید بر دایره یکه واقع باشد. یعنی ، و از آنجا . به عکس، روشن است که تبدیلهای موبیوس به شکل بالا در شرایط مطلوب صدق خواهند کرد. نیمه بالایی صفحه بر داخل یا خارج دایره یکه نگاشته می شود. بسته به اینکه یا .

دوم در مورد تقارن محوری

تقارن محوری

تقارن محوری تبدیلی است که با خطی راست که محور تقارن نامیده می شود مشخص می شود . قرینه نقطه نسبت به خط نقطه است در صورتی که، خط عمود منصف پاره خط باشد .
هرگاه نقطه قرینه نقطه نسبت به خط باشد آن را با نماد نشان می دهیم .هر نقطه که روی خط باشد قرینه اش نسبت به خط بر خودش منطبق است . در این تقارن خط را محور تقارن می نامیم و قرینه ، قرینه محوری است . ار تعریف بالا به سادگی نتیجه می شود که قرینه قرینه نسبت به خط بر خود منطبق است ، یعنی :

در تقارن محوری قرینه هر خط راست که با محور تقارن متقاطع باشد خطی است راست که از نقطه تقاطع آن خط با محور تقارن می گذرد و زاویه ان با محور برابر است با زاویه همان خط با محور. اگر خط با محور موازی باشد قرینه آن نیز با محور موازی و خط و قرینه اش از محور به یک فاصله می باشند . ( به شکل های الف و ب توجه کنید)

(الف)

(ب)

اثبات.
اگر قرینه نسبت به باشد و از به محل تلاقی خط با خط وصل کنیم ، خط قرینه خط نسبت به خط است .

اگر نقطه ی دلخواهی از خط باشد و از بر خط عمود کنیم تا امتداد آن خط را در قطع کند، از تساوی دو مثلث و ( ز-ض-ز) نتیجه می شود که :

یعنی ، پس قرینه ی هر نقطه دلخواه خط نسبت به خط روی می افتد و هم چنین بر عکس ، ثابت می شود که هر نقطه خط قرینه یک نقطه خط نسبت به خط است ، یعنی :

قرینه محوری هر پاره خط با ان مساوی است .

قرینه محوری هر زاویه زاویه ای است مساوی با آن .

تبدیل یافته هر شکل در تقارن محوری با آن شکل برابر است .
اما تساوی ، تساوی معکوس است . زیرا طرز قرار گرفتن زاویه ها و راس های نظیر در دو شکل هندسی در دو جهت مختلف است .

نتیجه ترکیب دو تقارن با محورهای موازی یک انتقال است .
اثبات.
با توجه به شکل داریم ، بنابراین :

پس می توان نوشت :
یا

نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای متقاطع یک دوران است که مرکز دوران همان محل برخورد محورها و زاویه ی دوران دو برابر زاویه ی بین دو محور می باشد .
اثبات.

اگر دو محور بر هم عمود باشند آنگاه زاویه ی دوران 180 است یعنی نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای عمود بر هم یک تقارن مرکز است .

هر گاه قرینه هر نقطه از شکل نسبت به خط ثابت بر روی خود شکل قرار گیرد خط را محور تقارن شکل گوییم . یک شکل ممکن است چندین محور تقارن داشته باشد .
خاصیت چهارم. بنا به نتیجه (1) و تعریف بالا هر گاه شکلی دارای دو محور تقارن عمود بر هم باشد، دارای مرکزتقارن است و محل تلاقی دو محور تقارن خواهد بود . مانند بیضی ، دایره، مربع و ...

هر ضلعی منتظم دارای محور تقارن است . اگر فرد باشد این محورهای تقارن از یک راس و وسط یک ضلع می گذرند مانند مثلث متساوی الاضلاع ، پنج ضلعی منتظم و ... و اگر زوج باشد نصف محورهای تقارن از وسط های اضلاع و نصف دیگر از راس ها می گذرند مانند مربع ، شش ضلعی منتظم و ... هم چنین دایره بی شمار محور تقارن دارد .

(الف)	(ب)

دو دایره با شعاع های مساوی و مرکز های متمایز دارای دو محور تقارن عمود بر هم می باشد و دو دایره با شعاع های نامساوی و مرکز های متمایز دارای یک محور تقارن می باشند که این محور تقارن امتداد خط المرکزین آن هااست و مماس مشترک های دو دایره نسبت به آن قرینه اند . هم چنین دو دایره متحد المرکز دارای بی‌شمار محورتقارن هستند.

(الف)	(ب)

هر خط راست بی شمار محور تقارن دارد . نیم خط محور تقارن ندارد و پاره خط یک محور تقارن دارد که عمودمنصف آن است .

بین تمام مثلث هایی که قاعدهو مساحت برابر دارند محیط مثلثی مینیمم است که متساوی الساقین باشد .
حل. فرض کنید مثلث باشد، که ارتفاع آن است ، حال اگر قاعده مشترک را بنامیم و مساحت باشد؛ چون پس ارتفاع ثابت است و مکان هندسی راس دو خط موازی می باشد .
حال برای آن که مینیمم باشد (ثابت است ) قرینه ی را نسبت به خط پیدا می کنیم و آن را می نامیم . از به وصل می کنیم تا را قطع کند . محل تقاطع را می نامیم . چون و موازیند، پسو مساوی و مثلث متساوی الساقین است .

مثلث و نقطه روی ضلع مفروض است ، نقاط و را روی و طوری بیابید که محیط مثلث کمترین مقدار ممکن را داشته باشد .
حل. فرض کنید و قرینه های نسبت به و باشند . اگر، و را درو قطع کند ادعا می کنیم مثلث مثلث مطلوب است وتوجه کنید که . پس محیط مثلث برابر طول پاره خط است . مشابهاً اگر و نقاط دیگری روی باشند محیط مثلث برابر طول پاره خط شکسته است که به وضوح از طول پاره خط که برابر محیط مثلث بود، بیشتر است . پس مثلث کمترین محیط را دارد .

تمام هایی را پیدا کنید که بتوان مربع یکسان را طوری در صفحه قرار داد که اضلاع آنها افقی و عمودی باشد و شکل حاصل حداقل سه محور تقارن داشته باشد .

حل. فرض کنیدیکی از مربع های مذکور باشد و یکی از محورهای تقارن و خطی موازی خطی افق و قرینه ی نسبت به باشد . داریم :

که ( مطابق شکل ) . حال از آنجا که یکی از اضلاع مربع های موجود در صفحه است دو حالت داریم:

پس محورهای تقارن با یکدیگر و سطح افق زاویه 45 یا 90 درجه می سازند . زیرا اضلاع مربع ، یا موازی محور یا عمود بر آن می باشند . از طرف دیگر ممکن است ، را قطع نکند و داشته باشیم . پس چهار نوع تقارن داریم ، که در شکل شماره گذاری شده اند :

دو حالت داریم :
الف.فرض می کنیم هیچ دو محور تقارنی موازی نباشند پس یا محور تقارن های 1و3 با هم وجود دارند، یا محور تقارن های 2و4 با هم وجود دارند .
زیرا طبق اصلا لانه کبوتری اگر دو دسته (3و1) و (4و2) را در نظر بگیریم ، از یک دسته حتماً دو عضوآن انتخاب می شود؛ چون حداقل 3 محور تقارن داشتیم .
بدون کم شدن از عمومیت مسئله فرض می کنیم دو محور از انواع 3و1 داریم :
حالت دوم از دوارن 90 این دو محور نسبت به محل برخورد آنها حاصل می شود (دقت کنید که قرینه و یا دوران 90 درجه محورها و شکل مربع ها ، تنها اضلاع افقی را به عمودی و عمودی را به افقی تبدیل می‌کند و یا تغییر در آنها نمی دهد.) حال فرض کنید محل برخورد دو محور مبدا مختصات باشد و مرکز یکی از مربع ها باشد . (واضح است که با توجه به یکسان بودن مربع ها و مختصات مرکز آنها و مربع ها به طور یکتا تعیین می شوند)

پس اگر موجود باشد آنگاه موجود است پس خط نیز یک محور تقارن است و شکل حاصل 3 محور تقارن دارد .
حال اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر آنگاه از هر مربع یک و فقط یک مربع ( یعنی خود مربع ) حاصل می شود . از حالات فوق نتیجه می شود که تعداد مربع ها به شکل و می باشد .
ب‌.فرض کنید حداقل دو محور تقارن موازی باشند . بدون این که خللی به فرض مسئله وارد شود فرض کنیم ازنوع 1 باشند و یکی به معادله ی و دیگری به معادله باشد و مرکز یکی از مربع ها باشد

و چون بی نهایت نقطه به شکل داریم : پس بی نهایت مربع داریم ( تناقض).

و در آخر

تقارن و بازتاب. همان طور که می‌دانید،‌ اگر نقطه قرینه نسبت به باشد، آن گاه داریم:

یا

همین طور قرینه یک شکل یا یک خط را می‌توان بدست آورد. برای مثال اگر خط قرینه نسبت به نقطه باشد، برای هر نقطه، وجود دارد بطوریکه:

یا

(وهمچنین به ازای هر وجود دارد ، که: ) بنابراین اگر معادله برابر باشد با: ، داریم:

می‌دانیم قرینه نسبت به محورها برابر با، و در نمایش قطبی قرینه است.
حال برای بدست آوردن بازتاب هر شکل یا هر خط، نسبت به محور حقیقی نیز می‌توان به همین ترتیب عمل کرد. برای مثال، بازتاب خط نسبت به محور حقیقی برابر است با:

اما فرض کنید، بخواهیم بازتاب نقطه را نسبت به خطی مانند بدست آوریم ( این خط از مبدا می گذرد )، بنابراین اگر نقطه حاصل از این بازتاب باشد، می‌توان آن را به ترتیب زیر بدست آورد: ابتدا باید شکل را تحت زاویه حول مبدا دوران داد، تا خط به محور ها تبدیل شود، بنابراین نقاط متناظر با حاصل از این دوران برابرند با: . پس باید داشته باشیم:

بنابراین خواهیم داشت:

بدین ترتیب بازتاب هر شکل یا هر خط را، نسبت به خطی که از مبدا می‌گذرد،‌می‌توان بدست آورد. برای مثال بازتاب خط نسبت به خط برابر است با:

(توجه کنید که نیمساز زاویه ای است که از برخورد بوجود آمده)

حال اگر بازتاب نقطه ، نسبت به خط، به معادله را که از مبدا نمی‌گذرد، بنامیم، را می توان با انتقال به اندازه بدست آورد، بدین ترتیب خواهیم داشت:

و مشابهاً بازتاب خط به معادله، نسبت به خط از معادله زیر بدست می‌آید:

منبع:رشد